Alle tall kan skrives som summen av fibonaccitall

Edouard Zeckendorf (1901–1983) var en belgisk lege, offiser og amatørmatematiker. Innen matematikk er han best kjent for sitt arbeid med Fibonaccitall og spesielt for å bevise et teorem som ble oppkalt etter han:

Alle mulige positive heltall kan skrives som summen av ulike fibonaccitall.

Zeckendorfs teorem

Fibonaccitallene er 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 20, osv. Neste tall i rekken er summen av de to forrige.

Listen vokser raskt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, …

Hvordan kan alle tenkelige tall komme fra dette?

Teoremet går ut på at du velger ett tall, og så begynner å gå oppover listen til du finner et tall som er større enn det valgte tallet. Noter ned det siste fibonaccitallet som er mindre enn eller lik oppgitte tall. Trekk det tallet fra det oppgitte tallet og gjenta prosessen med det nye tallet. Til slutt ender du med en rekke fibonaccitall, hvor summen av de blir det oppgitte tallet.

For eksempel tallet 600.

Det fibonaccitallet som er nærmest, men mindre enn eller lik 600 er 377.

Vi trekker fibonaccitallet 377 fra 600 og får 233.

Nærmest 223 er 144, og 223 - 144 gir 79.

Nærmest 79 er 55, nærmest 24 er 21, nærmest 3 er 3.

Legger vi sammen disse fibonaccitallene vi kom frem får vi det opprinnelige tallet:

377 + 144 + 55 + 21 + 3 = 600

Her kunne vi altså skrive et tilfeldig valgt tall som summen av tall hentet fra fibonaccirekken. Her er noen flere eksempler:

4321: 4181 + 89 + 34 + 13 + 3 + 1 = 4321

89764: 75025 + 10946 + 2584 + 987 + 144 + 55 + 21 + 2 = 89764

54: 34 + 13 + 5 + 2 = 54

Ettersom det er tungt å sitte å regne sånt for hånd, kan litt kode gjøre jobben raskt.

Hyggelig at en som ikke er utdannet matematiker blir kjent for slikt. Det gir håp til meg og andre amatørmatematikere ;-)